Biomechanika - studijní materiály

Šikmý vrh

Šikmý vrh při nulové odhodové výšce

V tomto případě je vržen hmotný bod z nulové výšky rychlostí v₀ pod úhlem α₀ (viz obr.). Po té, co je hmotný bod vržen, na něj působí pouze gravitační síla a odpor prostředí. V případě, že by byl hmotný bod vržen ve vakuu, odpor prostředí by byl nulový. V některých případech lze odpor prostředí zanedbat, např. reprezentuje-li hmotný bod těžkou kouli vrženou za naprostého bezvětří. Jak bude ukázáno níže, v případě, že odpor prostředí je zanedbán, trajektorií vrženého hmotného bodu je parabola. Pokud nelze odpor prostředí zanedbat, výslednou trajektorií je balistická křivka (viz obr.).

V následujícím textu je uvažován případ, kdy je možné odpor prostředí zanedbat. K vyšetření trajektorie šikmého vrhu při nulové odhodové výšce je tedy nutno znát pouze velikost vektoru odhodové rychlosti v₀, odhodový úhel α₀, a velikost gravitačního zrychlení g, které působí v záporném směru svislé osy. Pro složky vektoru rychlosti v₀ ve směru souřadnicových os x a y platí:

Trajektorii bodu lze určit pomocí superpozice přímočarých pohybů ve směru jednotlivých os souřadnicového systému. V rovinném případě se tedy jedná o vyšetření pohybu ve směru vodorovné a svislé osy. V případě, že lze zanedbat odpor prostředí, je velikost rychlosti bodu ve směru vodorovné osy konstantní, avšak ve směru svislé osy se velikost rychlosti mění v závislosti na velikosti gravitačního zrychlení.

kde t je čas, v_x(t) a v_y(t) jsou složky vektoru rychlosti ve směru os x a y v čase t. Pro polohu hmotného bodu ve směru jednotlivých os tedy platí

Dosazením za složky vektoru rychlosti v_0x a v_0y lze zapsat:

Tyto dvě rovnice jsou parametrickými rovnicemi trajektorie bodu při šikmém vrhu s nulovou odvrhovou výškou.

Z rovnice pro polohu ve směru osy x lze vyjádřit čas t:

Dosazením za čas t do parametrické rovnice ve směru osy y vznikne vztah vyjadřující závislost polohy ve směru osy y na poloze ve směru osy x:

což je rovnice paraboly.

Z této rovnice je možné určit délku vrhu l. V okamžiku dopadu bodu zpět na vodorovnou podložku platí, že jeho poloha ve směru osy y je nulová. Po dosazení y = 0 a x = l lze psát

a po úpravě

Tato rovnice má dvě možná řešení.

První řešení udává výchozí polohu, z které byl bod vržen, a druhé řešení je pak vztahem určujícím délku vrhu. Za použití goniometrických vzorců lze jeho tvar dále upravit. S uvažováním vzorců

lze vztah pro hledanou délku vrhu l upravit do konečného tvaru

Z tohoto vztahu je patrné, že optimální úhel odhodu je 45°. V případě, že by byl uvažován odpor prostředí, je tento úhel o několik stupňů menší.

Dále je možné spočítat maximální výšku, které bod při vrhu dosáhne. V okamžiku, kdy bod dosáhne maximální výšky ve směru osy y, se tento bod přestává pohybovat směrem vzhůru a začíná klesat. Jinými slovy, v tomto okamžiku se mění znaménko u složky rychlosti v_y a platí v_y = 0. Dosazením do rovnice pro výpočet rychlosti ve směru osy y lze psát

Z tohoto vztahu lze vyjádřit čas

a po dosazení za v_0y

Tento vztah lze dosadit do parametrické rovnice pro výpočet polohy bodu ve směru osy y. Pro maximální výšku vrhu pak platí: