Sendvičové materiály
Obrázek 1: Sendvič s jádrem a dvěma potahy. Horní potah je dvouvrstvý a dolní třívrstvý.
Rozdíl ve výpočtu konstitutivního vztahu v této kapitole a kapitole o laminátech je způsobený tím, že v případě sendvičů je funkce jádra z principu taková, že přenáší (téměř) výhradně jen příčné smykové deformace. Zároveň jádro zvyšuje kvadratický modul průřezu materiálu, tím že je lehkou výplní mezi potahy. Konstitutivní vztah pro sendviče má tvar
|
\[
\left(
\begin{array}{c}
\mathbf{N} \\ \mathbf{M} \\ \mathbf{S}
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
\mathbf{A} & \mathbf{B} & \mathbf{0} \\
\mathbf{C} & \mathbf{D} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{F} \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
\boldsymbol{\varepsilon}_m^0 \\ \mathbf{k} \\ ^c{}\boldsymbol{\gamma}
\end{array}
\right),
\]
| (1) |
který lze rozepsat takto
|
\[
\left(
\begin{array}{c}
N_x \\ N_y \\ N_{xy} \\ M_x \\ M_y \\ M_{xy} \\ S_{yz} \\ S_{xz}
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cccccccc}
A_{11} & A_{12} & A_{16} & B_{11} & B_{12} & B_{16} & 0 & 0 \\
A_{12} & A_{22} & A_{26} & B_{12} & B_{12} & B_{26} & 0 & 0 \\
A_{16} & A_{26} & A_{66} & B_{16} & B_{26} & B_{66} & 0 & 0 \\
C_{11} & C_{12} & C_{16} & D_{11} & D_{12} & D_{16} & 0 & 0 \\
C_{12} & C_{22} & C_{26} & D_{12} & D_{12} & D_{26} & 0 & 0 \\
C_{16} & C_{26} & C_{66} & D_{16} & D_{26} & D_{66} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & F_{44} & F_{45} \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & F_{45} & F_{55}
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
\varepsilon_x^0 \\ \varepsilon_y^0 \\ \gamma_{xy}^0 \\ k_x \\ k_y \\ k_{xy} \\ ^c{}\gamma_{yz} \\ ^c{}\gamma_{xz}
\end{array}
\right).
\]
| (2) |
Význam symbolu \(c\) u zkosů ve vztahu (2) je ten, že se jedná o zkosy jádra. Tloušťky potahů jsou oproti tlouěťce jádra velmi malé. Výpočet prvků jednotlivých matic se provede pomocí následujících vztahů:
|
\[
^b{}A_{ij}=\int\limits_{-\frac{^c{}h}{2}+^b{}h}^{-\frac{^c{}h}{2}} Q_{ij}^k dz = \sum\limits_{k=1}^{^b{}n}\quad \int\limits_{^b{}h_{k-1}}^{^b{}h_{k}} Q_{ij}^k dz = \sum\limits_{k=1}^{^b{}n} Q_{ij}^k (^b{}h_k - ^b{}h_{k-1}),
\]
| (3) |
|
\[
^t{}A_{ij}=\int\limits_{\frac{^c{}h}{2}}^{\frac{^c{}h}{2}+^t{}h} Q_{ij}^k dz = \sum\limits_{k=1}^{^t{}n}\quad \int\limits_{^t{}h_{k-1}}^{^t{}h_{k}} Q_{ij}^k dz = \sum\limits_{k=1}^{^t{}n} Q_{ij}^k (^t{}h_k - ^t{}h_{k-1}),
\]
| (4) |
|
\[
^b{}C_{ij}=\int\limits_{-\frac{^c{}h}{2}+^b{}h}^{-\frac{^c{}h}{2}} zQ_{ij}^k dz = \sum\limits_{k=1}^{^b{}n}\quad \int\limits_{^b{}h_{k-1}}^{^b{}h_{k}} zQ_{ij}^k dz = \frac{1}{2} \sum\limits_{k=1}^{^b{}n} Q_{ij}^k (^b{}h_k^2 - ^b{}h_{k-1}^2),
\]
| (5) |
|
\[
^t{}C_{ij}=\int\limits_{\frac{^c{}h}{2}}^{\frac{^c{}h}{2}+^t{}h} zQ_{ij}^k dz = \sum\limits_{k=1}^{^t{}n}\quad \int\limits_{^t{}h_{k-1}}^{^t{}h_{k}} zQ_{ij}^k dz = \frac{1}{2} \sum\limits_{k=1}^{^t{}n} Q_{ij}^k (^t{}h_k^2 - ^t{}h_{k-1}^2),
\]
| (6) |
a
|
\[
F_{ij}= {^c{}h} {^c{}Q_{ij}},
\]
| (7) |
přičemž
|
\[
A_{ij} = ^t{}A_{ij} + {^b{}A_{ij}},
\]
| (8) |
|
\[
B_{ij} = \frac{{^c{}h}}{2} \left( ^t{}A_{ij} - {^b{}A_{ij}} \right),
\]
| (9) |
|
\[
C_{ij} = ^t{}C_{ij} + {^b{}C_{ij}},
\]
| (10) |
a
|
\[
D_{ij} = \frac{{^c{}h}}{2} \left( ^t{}C_{ij} - {^b{}C_{ij}} \right).
\]
| (11) |
