Lamináty
Obrázek 1: Čtyřvrstvý laminát.
Maticový zápis konstitutivního vztahu pro lamináty při uvažování příčných smyků má tvar
|
\[
\left(
\begin{array}{c}
\mathbf{N} \\ \mathbf{M} \\ \mathbf{S}
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
\mathbf{A} & \mathbf{B} & \mathbf{0} \\
\mathbf{B} & \mathbf{D} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{F} \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
{^0{}\boldsymbol{\varepsilon}} \\ \boldsymbol{k} \\ {^0{}\boldsymbol{\gamma}}
\end{array}
\right),
\]
| (1) |
kde \(\mathbf{N}\) je vektor výsledných sil působících na laminát, \(\mathbf{M}\) je vektor výsledných momentů působících na laminát, \(\mathbf{S}\) je vektor výsledných příčných smykových sil působících na laminát, \(\mathbf{A}\) je matice tahové tuhosti, \(\mathbf{B}\) je matice vazební tuhosti, \(\mathbf{D}\) je matice ohybové tuhosti, \(\mathbf{F}\) je matice smykové tuhosti, \(\boldsymbol{^0{}\varepsilon}\) je vektor deformace střední roviny, \(\boldsymbol{k}\) je vektor křivosti laminátu a \(^0{}\boldsymbol{\gamma}\) je vektor příčných zkosů. Detailně rozepsaný vztah má tvar
|
\[
\left(
\begin{array}{c}
N_x \\ N_y \\ N_{xy} \\ M_x \\ M_y \\ M_{xy} \\ S_{yz} \\ S_{xz}
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cccccccc}
A_{11} & A_{12} & A_{16} & B_{11} & B_{12} & B_{16} & 0 & 0 \\
A_{12} & A_{22} & A_{26} & B_{12} & B_{12} & B_{26} & 0 & 0 \\
A_{16} & A_{26} & A_{66} & B_{16} & B_{26} & B_{66} & 0 & 0 \\
B_{11} & B_{12} & B_{16} & D_{11} & D_{12} & D_{16} & 0 & 0 \\
B_{12} & B_{22} & B_{26} & D_{12} & D_{12} & D_{26} & 0 & 0 \\
B_{16} & B_{26} & B_{66} & D_{16} & D_{26} & D_{66} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & F_{44} & F_{45} \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & F_{45} & F_{55}
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
{^0{}\varepsilon_x} \\ {^0{}\varepsilon_y} \\ {^0{}\gamma_{xy}} \\ k_x \\ k_y \\ k_{xy} \\ {^0{}\gamma_{yz}} \\ {^0{}\gamma_{xz}}
\end{array}
\right).
\]
| (2) |
Jednotlivé prvky submatic \(\mathbf{A, B, D, F}\) lze vypočítat ze vztahů
|
\[
A_{ij}= \sum\limits_{k=1}^{n} Q_{ij}^k (h_k - h_{k-1}),
\]
| (3) |
|
\[
B_{ij}= \frac{1}{2} \sum\limits_{k=1}^{n} Q_{ij}^k (h_k^2 - h_{k-1}^2),
\]
| (4) |
|
\[
D_{ij}= \frac{1}{3} \sum\limits_{k=1}^{n} Q_{ij}^k (h_k^3 - h_{k-1}^3)
\]
| (5) |
a
|
\[
F_{ij}= \sum\limits_{k=1}^{n} Q_{ij}^k (h_k - h_{k-1}),
\]
| (6) |
kde \(n\) je počet vrstev laminátu, \(k\) je číslo vrstvy laminátu, \(h_k\) je prvek vektoru \(\mathbf{h}\) definujícícho vzdálenost hranic vrstev od střední roviny laminátu a \(Q_{ij}^k\) je prvek matice tuhosti v souřadném systému \(O(x,y,z)\). Konstitutivní vztah v souřadném systému \(O(x,y,z)\) má po přerovnání řádků a sloupců tvar
|
\[
\left(
\begin{array}{c}
\sigma_x \\ \sigma_y \\ \tau_{xy} \\ \tau_{yz} \\ \tau_{xz}
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccccc}
Q_{11} & Q_{12} & Q_{16} & 0 & 0 & \\
Q_{12} & Q_{22} & Q_{26} & 0 & 0 & \\
Q_{16} & Q_{26} & Q_{66} & 0 & 0 & \\
0 & 0 & 0 & Q_{44} & Q_{45} & \\
0 & 0 & 0 & Q_{45} & Q_{55} &
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
\varepsilon_x \\ \varepsilon_y \\ \gamma_{xy} \\ \gamma_{yz} \\ \gamma_{xz}
\end{array}
\right).
\]
| (7) |
Výpočet matice \(Q\) je ukázán v kapitole
lamina.
