Lamina
Tato část podpůrných učebních textů ukazuje, jak vypočítat matici tuhosti v souřadnicovém systému \(O(x,y,z)\) z mechanických vlastností vlákna a matrice. Ukazuje jen základní vztahy, v odborné literatuře lze nalézt mnoho dalších a komplikovanějších vztahů. Každopádně platí, že v případě kompozitních materiálů je základním nástrojem pro určování mechanických vlastností experiment. Protože v dalších částech těcto učebních materiálů budeme uvažovat i smyková napětí příčná na rovinu laminátu, budeme je uvažovat i v této části. V případě uvažování lineárního a izotropního chování materiálu, lze výchozí hodnoty shrnout do následující tabulky.
Tabulka 1: Mechanické vlastnosti fází.
| Veličina | Rozměr | Popis |
| \(E_f\) | [Pa] | Modul pružnosti vláken |
| \(E_m\) | [Pa] | Modul pružnosti matrice |
| \(\nu_f\) | [-] | Poissonovo číslo vláken |
| \(\nu_m\) | [-] | Poissonovo číslo matrice |
| \(G_f\) | [Pa] | Smykový modul pružnosti vláken |
| \(G_m\) | [Pa] | Smykový modul pružnosti matrice |
| \(V_f\) | [-] | Objemový podíl vláken |
Objemový podíl vláken a matrice lze vypočítat ze vztahů
|
\[
V_f = \frac{v_f}{v_c} \ \ \text{a} \ \ V_m = \frac{v_m}{v_c},
\]
| (1) |
kde \(v_f\), \(v_m\) a \(v_c\) jsou objemy vláken, matrice a celého kompozitu. Očividně platí vztah
Mechanické vlastnosti jednosměrové laminy s uvažováním příčných smyků v systému materiálových souřadnic \(O(1,2,3)\) lze vypočítat ze vztahů
|
\[
E_1 = V_f E_f + V_m E_m = V_f E_f + (1-V_f) E_m,
\]
| (3) |
|
\[
E_2 = \frac{E_m}{1-V_f\left(1-\frac{E_m}{E_f}\right)},
\]
| (4) |
|
\[
\nu_{12} = V_f \nu_f + V_m \nu_m = V_f \nu_f + (1-V_f) \nu_m,
\]
| (5) |
|
\[
G_{12} = G_{13} = \frac{G_m}{1-V_f\left(1-\frac{G_m}{G_f}\right)},
\]
| (6) |
a také platí
|
\[
G_{23} = \frac{E_2}{\left[2\left(1+\nu_{23}\right)\right]},
\]
| (7) |
kde \(E_1\) je modul pružnosti ve směru vláken (nebo pro případ tkanin ve vybraném směru osnovy), \(E_2\) je modul pružnosti ve směru příčném na vlákna, \(\nu_{12}\) je Poissonovo číslo v rovině kompozitu, \(G_{12}\) je smykový modul v rovině kompozitu, \(G_{13}\) a \(G_{23}\) jsou příčné smykové moduly, přičemž hodnotu \(\nu_{23}\), nebo \(G_{23}\) je nutné určit komplikovanějším výpočtem, nebo experimentálně. Konstitutivní vztah má po přerovnání řádků a slopců v souřadnicovém systému materiálových os \(O(1,2,3)\) tvar
|
\[
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{\sigma}(1,2,3)
& = &
\mathbf{C}
\boldsymbol{\varepsilon}(1,2,3)
=
\\
\left(
\begin{array}{c}
^0{}\boldsymbol{\sigma}(1,2,3) \\ ^\text{s}{}\boldsymbol{\tau}(1,2,3)
\end{array}
\right)
& = &
\left(
\begin{array}{cc}
^0{}\mathbf{C} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & ^\text{s}{}\mathbf{C}
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
^0{}\boldsymbol{\varepsilon}(1,2,3) \\ ^\text{s}{}\boldsymbol{\gamma}(1,2,3)
\end{array}
\right)
=
\\
\left(
\begin{array}{c}
\sigma_1 \\ \sigma_2 \\ \tau_{12} \\ \tau_{23} \\ \tau_{13}
\end{array}
\right)
& = &
\left(
\begin{array}{ccc}
C_{11} & C_{12} & 0 & 0 & 0 \\
C_{12} & C_{22} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & C_{66} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & C_{55} \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
\varepsilon_1 \\ \varepsilon_2 \\ \gamma_{12} \\ \gamma_{23} \\ \gamma_{13}
\end{array}
\right)
=
\\
\left(
\begin{array}{c}
\sigma_1 \\ \sigma_2 \\ \tau_{12} \\ \tau_{23} \\ \tau_{13}
\end{array}
\right)
& = &
\left(
\begin{array}{ccccc}
\frac{E_1}{1-\frac{E_2}{E_1}\nu_{12}^2} & \frac{\nu_{12}E_2}{1-\frac{E_2}{E_1}\nu_{12}^2} & 0 & 0 & 0\\
\frac{\nu_{12}E_2}{1-\frac{E_2}{E_1}\nu_{12}^2} & \frac{E_2}{1-\frac{E_2}{E_1}\nu_{12}^2} & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & G_{12} & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & G_{23} & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & G_{13}
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
\varepsilon_1 \\ \varepsilon_2 \\ \gamma_{12} \\ \gamma_{23} \\ \gamma_{13}
\end{array}
\right).
\end{eqnarray}
\] | (8) |
K výpočtu matice materiálových konstant v souřadnicovém systému \(O(x,y,z)\) potřebujeme použít transformační matici pro napětí \(\mathbf{T}_{\sigma}\), pak lze napětí z jednoho systému do druhého přepočítat za pomoci vztahu
|
\[
\boldsymbol{\sigma}(1,2,3) = \textbf{T}_{\sigma} \boldsymbol{\sigma}(x,y,z).
\]
| (9) |
Dále je potřeba transformační matice pro deformace \(\mathbf{T}_{\varepsilon}\), pak tedy
|
\[
\boldsymbol{\varepsilon}(1,2,3) = \textbf{T}_{\varepsilon} \boldsymbol{\varepsilon}(x,y,z).
\]
| (10) |
Vztah (9) lze rozepsat detailně, pak dostaneme
|
\[
\left(
\begin{array}{c}
\sigma_{1} \\ \sigma_{2} \\ \tau_{12} \\ \tau_{23} \\ \tau_{13}
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccccc}
\cos^2\theta & \sin^2\theta & 2\sin \theta \cos\theta & 0 & 0 \\
\sin^2\theta & \cos^2\theta & -2\sin\theta \cos\theta & 0 & 0 \\
-\sin\theta \cos\theta & \sin\theta \cos\theta & \cos^2\theta-\sin^2\theta & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cos\theta & -\sin\theta \\
0 & 0 & 0 & \sin\theta & \cos\theta
\end{array}
\right)
\left(\begin{array}{c}\sigma_{x}\\ \sigma_{y} \\ \tau_{xy} \\ \tau_{yz} \\ \tau_{xz}\end{array}\right).
\] | (11) |
Stejně tak lze rozepsat vztah (10) a dostaneme
|
\[
\left(
\begin{array}{c}
\varepsilon_{1} \\ \varepsilon_{2} \\ \gamma_{12} \\ \gamma_{23} \\ \gamma_{13}
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccccc}
\cos^2\theta & \sin^2\theta & \sin \theta \cos\theta & 0 & 0 \\
\sin^2\theta & \cos^2\theta & -\sin\theta \cos\theta & 0 & 0 \\
-2\sin\theta \cos\theta & 2\sin\theta \cos\theta & \cos^2\theta-\sin^2\theta & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cos\theta & -\sin\theta \\
0 & 0 & 0 & \sin\theta & \cos\theta
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
\varepsilon_{x} \\ \varepsilon_{y} \\ \gamma_{xy} \\ \gamma_{yz} \\ \gamma_{xz}
\end{array}
\right).
\] | (12) |
Úhel \(\theta\) je úhel svírající směr vláken se směrem osy \(x\). Dále, při použití vztahů (9) a (10) můžeme vypočítat matici materiálových konstant v souřadnicovém systému \(O(x,y,z)\), takto
|
\[
\textbf{Q}=\mathbf{T}_{\sigma}^{-1}\mathbf{C}\mathbf{T}_{\varepsilon}.
\]
| (13) |
Konstitutivní vztah v souřadnicovém systému \(O(x,y,z)\) bude mít následující tvar
|
\[
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{\sigma}(x,y,z)
& = &
\mathbf{Q}
\boldsymbol{\varepsilon}(x,y,z)
=
\\
\left(
\begin{array}{c}
^0{}\boldsymbol{\sigma}(x,y,z) \\ ^\text{s}{}\boldsymbol{\tau}(x,y,z)
\end{array}
\right)
& = &
\left(
\begin{array}{cc}
^0{}\mathbf{Q} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & ^\text{s}{}\mathbf{Q}
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
^0{}\boldsymbol{\varepsilon}(x,y,z) \\ ^\text{s}{}\boldsymbol{\gamma}(x,y,z)
\end{array}
\right)
=
\\
\left(
\begin{array}{c}
\sigma_x \\ \sigma_y \\ \tau_{xy} \\ \tau_{yz} \\ \tau_{xz}
\end{array}
\right)
& = &
\left(
\begin{array}{ccc}
Q_{11} & Q_{12} & Q_{16} & 0 & 0 \\
Q_{12} & Q_{22} & Q_{26} & 0 & 0 \\
Q_{16} & Q_{26} & Q_{66} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & Q_{44} & Q_{45} \\
0 & 0 & 0 & Q_{45} & Q_{55}
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
\varepsilon_x \\ \varepsilon_y \\ \gamma_{xy} \\ \gamma_{yz} \\ \gamma_{xz}
\end{array}
\right).
\end{eqnarray}
\]
| (14) |
